Le modèle LMM-SABR : approche théorique et implémentation

Pierre M.

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Le modèle LMM-SABR : approche théorique et implémentation

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Au cours de ce stage, j'ai été intégré à l'équipe "Validation des modèles", du département "Risques" de la branche espagnole de ... Le rôle de celle-ci est d'implémenter les modèles de mathématiques financières que la banque a choisi d'utiliser, puis de les mettre en application pour pricer des produits dérivés, essentiellement indexés sur les taux intérêt - EURIBOR notamment - dans le cas de mon équipe. L'objectif est de valider les programmes réalisés par les équipes d'analyse quantitative du Front Office, ainsi que les résultats numériques qu'elles obtiennent. L'équipe intervient aussi pour vérifier et valider les transactions importantes réalisées en salle de marché.

Le travail de l'équipe "Validation des modèles" s'inscrit donc véritablement dans le domaine de la finance quantitative. Il me semble également intéressant de noter, pour bien prendre conscience des enjeux sous-jacents, que "les marchés de taux d'intérêt sont les marchés de capitaux les plus importants du monde, loin devant le marché des changes, et très loin devant celui des actions, non seulement par les volumes traités, mais aussi par leur importance économique." (...)

Sommaire

I) Présentation du sujet

A. Présentation
B. Abstract (english)

II) Les éléments théoriques sous-jacents

A. Les taux d'intérêt
1. Définition 1 : Le coefficient d'actualisation ("discount factor")
2. Définition 2 : L'obligation zéro-coupon ("zero-coupon bond")
3. Définition 3 : Le contrat à terme de taux d'intérêt ("Forward Rate Agreement")
4. Définition 4 : Le taux forward simple ("Simply-compounded forward interest rate")
5. Définition 5 : Le taux swap forward ("forward swap-interest rate")
6. Définition 6 : Caplet
7. Définition 7 : Swaption
8. Remarque : Importance de la courbe des coefficients d'amortissement
B. Les outils mathématiques utilisés
1. Proposition 1
2. Proposition 2
C. Le Libor Market Model
D. Le modèle SABR
E. Le modèle LMM-SABR

III) L'implémentation du modèle LMM-SABR

A. L'implémentation du modèle
B. La calibration
C. Les modifications à apporter
D. Les résultats obtenus

Bibliographie
Annexes

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Extraits

[...] équations page 20). La matrice obtenue a la propriété suivante : en sommant les termes de chacune de ses lignes, on obtient directement, et sans faire le moindre test, toutes les sommes figurant dans les expressions de µi et η i , associés respectivement à chacun des forwards. Cette technique s'avère d'autant plus intéressante que la matrice ci-dessus est très simple à calculer (j'utilise une petite fonction qui prend juste le nombre de forwards et l'indice du numéraire en entrée), et n'est à calculer qu'une fois. [...]

[...] Soit (Bt )t≥0 un mouvement brownien sous la mesure de probabilité considérée. Soit (Xt )t≥0 un processus d'Itô, tel que : Z t Z t ∀ t Xt = X0 + du + σ(u) dBu avec : ∀ T  RT 0 2 du] [...]

[...] la première remarque sur les équations du LM M Rebonato si. L'équipe de la a décidé de d'adopter sytématiquement la même convention que Rebonato afin d'exploiter les résultats obtenus pour obtenir des simulations de courbes d'autres taux d'intérêt, impossibles à calculer sans cette hypothèse (cf. remarque 7 du chapitre «L'implémentation du modèle») La corrélation existant entre les différents mouvements browniens mis en jeu dans le modèle sont données par les matrices (ρij )1≤i,j≤n , (rij )1≤i,j≤n et (Rij )1≤i,j≤n . [...]

[...] I realized later that these results would serve to calibrate the LMM-SABR. Then I could study the theorical approach of the LMM-SABR model ; all the sources I have used appear in the bibliography. Following this I was able to tackle the heart of my internship : the implementation of the model. In so far as it had never been implemented in before, I was brought face to face with several interrogations and problems. I have had to make choices, to make the programm functional and then effective. [...]

[...] éléments de démonstration de l'existence et de l'unicité des solutions de ces EDS ci-après) Les équations , ( 2.11 ) et ( 2.27 ) ] proposent respectivement une expression (déterministe) pour la volatilité : σit = + b(Ti − t)]exp[−c(Ti − + et une pour la corrélation : ρik = exp[−γ Ti − Tk , pages 11 à 23 ] aborde en profondeur les tenants et les aboutissants de ces deux choix Ce modèle, généralement apprécié des professionnels, présente toutefois un inconvénient de taille : la structure du smile de volatilité qu'elle implique est assez rigide, et n'est pas suffisamment riche pour reproduire de manière satisfaisante les smiles observés sur les marchés pour les caps/floor et les swaptions (produits dérivés que le LM M sert pourtant à pricer . Les smiles de volatilité d'options vanilles sont plutôt reproduits par des modèles à volatilité stochastique (tel que le SABR . Démonstration des équations du LMM : Comme on pourra le constater dans le point le LMM-SABR est une extension du LMM. La démonstration que nous en proposons page 21 recouvre donc celle du modèle original. Il suffit d'y poser : νti = ∀i ∈ { ∀t 0. Cela revient à supprimer la composante stochastique (ie. [...]

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